[computer vision] 핀홀 카메라 모델; 3차원 상의 피사체를 2차원 이미지로 표현하는 모델

핀홀 카메라를 모델링해보자!

• 핀홀 카메라의 핀홀을 통해 투과된 빛은 직진하여 필름의 평면에 상(이미지; image)이 생김
• 이를 광선(빛)이 영상 평면(필름)에 상(이미지)이 생긴다고 표현할 수 있음
   : 영상 평면(image plane) or 투영 평면(projection plane)
• 이 이미지의 크기는 핀홀 카메라의 '초점 거리(focal length)'와 '카메라와 피사체 사이의 거리'로 결정됨
• 일반적인 초점 거리(f)는 영상 평면에서 핀홀까지의 거리임

핀홀 카메라 모델에서의 3차원 피사체와 2차원 이미지의 수식 관계

• 3차원 상의 피사체가 가지는 크기를 H라고 두고 2차원 상의 이미지가 가지는 크기를 h로 정의
• H와 h 사이의 관계는 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있음

$$ -\frac{h}{f} = \frac{H}{Z} $$

• 따라서 2차원 상의 이미지가 가지는 크기는 다음과 같은 수식으로 정의할 수 있음

$$ -h = f \times \frac{H}{Z} $$

 

영상 평면을 중심으로 하는 핀홀 카메라 모델과 수식

• 영상 평면을 중심으로 위에서 본 핀홀 카메라 모델 그림을 다음과 같이 바꾸어 볼 수 있음

• 3차원 피사체의 위의 한 점을 A, 이 점이 투영된 2차원 이미지 위의 위치를 a라고 정의
• 점 A에서 출발한 및이 영상 평면에 이미지로 투영되면 a라고 생각할 수 있음
• 투영 중심을 기준으로 두고 좌표계를 생성한다면, A=(H, Y, Z)로 a=(h, y, f)로 정의할 수 있음
• 이 모델에서 h와 H의 관계는 다음의 식과 같음

$$ h = f \times \frac{H}{Z} $$

• 모든 모델에서 광축과 주점(혹은 투영 중심)이 일치하도록 되어있음
• 광축과 주점이 일치하도록 카메라를 만드는 것은 매우 어려운 일
• 따라서 현실에서는 이러한 모델은 적합하지 않아 수정이 필요
• 3차원 피사체가 투영된 평면인 영상 평면 위에 새로운 매개변수(parameter)를 추가
• 이 매개변수는 영상 평면 위의 좌표 중심 기반의 이동 변위를 의미
• 이 매개변수를 c라고 정의한다면 다음과 같은 수식으로 영상 평면 위 값들을 표현할 수 있음

$$ h_{image} = f_{h} \times \frac{H}{Z} + c_{h} $$

$$ y_{image} = f_{y} \times \frac{Y}{Z} + c_{y} $$

• 위의 수식에서 사용된 요소들의 의미는 아래와 같음

1. h : 영상 평면의 세로축 길이
2. H : 실제 피사체가 가지는 세로축 길이
3. y : 영상 평면의 가로축 길이
4. Y : 실제 피사체가 가지는 가로축 길이
5. f : 핀홀 카메라의 초점 거리
6. Z : 카메라와 피사체 사이의 거리
7. c : 영상 평면(=3차원 피사체가 투영 평면)에서 광축과 센서 중심 차이를 반영한 이동 변위 보조 변수

• 위의 요소들에서 초점 거리(f)와 이동 변위 보조 변수(c)는 h와 y 각각 사용됨
• 그 이유는 실제 카메라의 영상 센서(CMOS or CCD)가 가지는 개별 픽셀들이 가로와 세로의 값이 물리적으로 차이를 가지기 때문

 

Reference

• https://kugistory.tistory.com/30
• https://darkpgmr.tistory.com/32

핀홀 카메라 모델 (pinhole camera model)

카메라 캘리브레이션 (Camera Calibration)